Question

12．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，
（1）四棱錐P-ABCD的體積是$\frac{27}{2}$；
（2）四棱錐P-ABCD中直線PB與直線AC所成角的大小是$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖得到數(shù)據(jù)，直接求解幾何體是體積即可．
（2）分別求出兩條直線所在的向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．

解答 解：（1）由題意可知幾何體的直觀圖如圖：
可設(shè)PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，DC⊥AD，則PA=3，AD=3，DC=3，AB=6，
幾何體的體積為：V=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{3+6}{2}×3×3$=$\frac{27}{2}$．
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0），B（0，6，0），C（3，3，0），D（3，0，0），P（0，0，3），
因$\overrightarrow{AC}$=（3，3，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，6，-3），
故|$\overrightarrow{AC}$|=$3\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$3\sqrt{5}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=18，
所以cos＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$＞═$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\left|\overrightarrow{PB}\right|}$=$\frac{18}{3\sqrt{2}×3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
直線PB與直線AC所成角的大小是＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$＞=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{27}{2}$；$arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有利于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角與空間距離等問(wèn)題．