Question

如圖，直線a在α內，b在β內，α⊥β，α∩β=c，∠1=∠2=60°則a、b所成角θ的余弦值為（　�。�

• A、1
• B、-

  1

  4

• C、

  1

  4

• D、

  2

  5

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：可如圖建立空間直角坐標系，將異面直線所成的角，轉化為它們的方向向量間的夾角（或其補角），然后代入公式求出θ的余弦值．

解答： 解：如圖，設直線a，b分別與二面角的棱c交與點O，M，在面α內作Ox垂直于c于O，在面β內作Oz垂直于c于O，且Oz∩a=A，MB∩b=B，
設OM=1，則在Rt△AOM，Rt△BOM中，又∵∠1=∠2=60°，
∴OA=MB=

3

，又∵α⊥β，∴Ox，OM，Oz兩兩垂直，
∴建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，

3

），M（0，1，0），B（

3

，1， 0），
∴

AM

=（0，1，-

3

），

OB

=（

3

，1，0），
cosθ=|cos＜

AM

，

OB

＞|=|

AM • OB

| AM || OB |

|=

1

2×2

=

1

4

，
∴a，b所成角的余弦值為

1

4

．
故選：C．

點評：此題通過平行線構造三角形找到異面直線a、b的夾角，然后計算比較麻煩，因此考慮建立空間直角坐標系，將之轉化為兩異面直線方向向量間的夾角，相對較容易些，但需注意兩異面直線的夾角只能是銳角或直角，因此其余弦值非負．