【題目】已知a,b∈R+ , m,n∈N* . (Ⅰ)求證:(an+bn)(am+bm)≤2(am+n+bm+n);
(Ⅱ)求證:

【答案】證明:(Ⅰ)2(am+n+bm+n)﹣(an+bn)(am+bm)=am+n+bm+n﹣anbm﹣anbm=am(an﹣bn)+bm(bn﹣an)=(am﹣bm)(an﹣bn);
①若a≥b>0則,am≥bm>0,an≥bn>0,可得(am﹣bm)(an﹣bn)≥0;
②若0<a<b,則0<am<bm , 0<an<bn , 可得(am﹣bm)(an﹣bn)>0;
綜上所述總有(am﹣bm)(an﹣bn)≥0
故(an+bn)(am+bm)≤2(am+n+bm+n).
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得(a+b)(a2+b2)≤2(a3+b3),
即有(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≤2(a3+b3)(a3+b3)≤4(a6+b6
則有
【解析】(Ⅰ)作差可得2(am+n+bm+n)﹣(an+bn)(am+bm),展開運用因式分解,推理a,b的大小,即可得證;(Ⅱ)分別令n=1,m=2,以及m=n=3,運用(Ⅰ)的結論,即可得證.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識,掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構造法,函數(shù)單調性法,數(shù)學歸納法等.

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【題目】已知F1 , F2分別是雙曲線 =1(a>0,b>0)的左,右焦點,點F1關于漸近線的對稱點恰好在以F2為圓心,|OF2|(O為坐標原點)為半徑的圓上,則該雙曲線的離心率為

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【題目】已知函數(shù))是定義在上的奇函數(shù).

(1)求的值;

(2)求函數(shù)的值域;

(3)當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,求函數(shù)的最大值;

(2)若,且對任意的, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .任取t∈R,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對稱軸方程;
(2)當t∈[﹣2,0]時,求函數(shù)g(t)的解析式;
(3)設函數(shù)h(x)=2|xk|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中實數(shù)k為參數(shù),且滿足關于t的不等式 有解,若對任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x2+1.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0,求實數(shù)ab的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調性;

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos( + ),x∈R,且f( )=
(1)求A的值;
(2)設α,β∈[0, ],f(4α+ π)=﹣ ,f(4β﹣ π)= ,求cos(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】袋中共有8個球,其中3個紅球、2個白球、3個黑球.若從袋中任取3個球,則所取3個球中至多有1個紅球的概率是( )
A.
B.
C.
D.

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