Question

已知平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圓C及其內(nèi)部所覆蓋．
（1）當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，求圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且滿足S△ABC=

5

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,直線的一般式方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）作出平面區(qū)域，利用圓C的面積最小時(shí)，確定圓心和圓的半徑即可求圓C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系結(jié)合S△ABC=

5

2

，建立方程關(guān)系，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，
∴圓心是Rt△OPQ的斜邊PQ的中點(diǎn)C（2，1），半徑r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
∴設(shè)直線l的方程為y=x+b，
則圓心C到直線AB的距離d=

|2-1+b|

2

=

|b+1|

2

，
將直線方程代入圓的方程得
∵BC=

5

，
∴AB=2

BC2-d2

=2

5-( |b+1| 2 )2

=2

5- (b+1) 2 2

，
∵S△ABC=

5

2

，
∴S△ABC=

5

2

=

1

2

•AB•d，
即

1

2

×

|b+1|

2

×2

5- (b+1) 2 2

=

5

2

，
即

|b+1|

2

•

10-(b+1)2 2

=

5

2

，
∴|b+1|•

10-(b+1)2

=5，
即（b+1）²•[10-（b+1）²]=25，
∴（b+1）⁴-10（b+1）²+25=0，
即[（b+1）²-5]²=0，
∴（b+1）²=5，
解得b=-1±

5

，滿足條件，
∴直線l的方程的方程為y=x+(-1±

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以及圓的方程的求法，利用直線和圓的位置關(guān)系求出相交線AB的長(zhǎng)度，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．