Question

已知f（x）在（0，3）上單調遞減，且y=f（x+3）是偶函數(shù)，則不等式組

m≥0 n≥0 f(2m+n)≤f(4)

所表示的平面區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,函數(shù)單調性的性質,函數(shù)奇偶性的性質

專題：不等式的解法及應用

分析：利用函數(shù)y=f（x+3）是偶函數(shù)，得到函數(shù)關于x=3對稱，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調性，求出不等式f（2m+n）≤f（4）的等價條件，作出平面區(qū)域，即可求區(qū)域面積．

解答： 解：∵y=f（x+3）是偶函數(shù)，
∴f（-x+3）=f（x+3），即函數(shù)f（x）關于x=3對稱，
∴f（4）=f（2）．
又∵f（x）在（0，3）上單調遞減，
∴f（x）在（3，6）上單調遞增．
對于不等式f（2m+n）≤f（4）
等價為f（2）≤f（2m+n）≤f（4），即2≤2m+n≤4，
∴不等式組等價為

m≥0 n≥0 2≤2m+n≤4

，即

x≥0 y≥0 2x+y≤4 2x+y≥2

，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABCD）：
對應的面積S等于大△OBC的面積加強小△OAD的面積，
即S=

1

2

×4×2-

1

2

×1×2=4-1=3，
故答案為：3．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用函數(shù)的性質確定函數(shù)的單調性和對稱性，將不等式f（2m+n）≤f（4）進行轉化是解決本題的關鍵，本題綜合性較強．