Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，E是PB上任意一點．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD

∴PD⊥AC

又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D

∴AC⊥平面PBD，∵DE平面PBD

∴AC⊥DE…（6分）

（2）解：分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，則

由（1）知：平面PBD的法向量為 ，

令平面PAB的法向量為 ，則根據(jù) 得 ∴

因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，則 ，即 ，∴

∴

設EC與平面PAB所成的角為θ，

∵ ，

∴

【解析】（1）證明線線垂直，正弦證明線面垂直，即證AC⊥平面PBD；（2）分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，用坐標表示點，求得平面PBD的法向量為 ，平面PAB的法向量為 ，根據(jù)二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，可求t的值，從而可得P的坐標，再利用向量的夾角公式，即可求得EC與平面PAB所成的角．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．