Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求S_n+1-S_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）整理題設(shè)a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），進(jìn)而可推斷數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可數(shù)列{a_n-n}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求得a_n，根據(jù)等比和等差數(shù)列的求和公式求得S_n，代入S_n+1-4S_n整理后根據(jù)-

1

2

（3n²+n-4）和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值．

解答： （Ⅰ）證明：由題設(shè)得a_n+1=4a_n-3n+1，則a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4^n-1+n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a_n=4^n-1+n，
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1-4n

1-4

+

n(1+n)

2

=

4n-1

3

+

n(1+n)

2

，
則S_n+1-S_n=

4n+1-1

3

+

(n+1)(2+n)

2

-[

4n-1

3

+

n(1+n)

2

]
=-

1

2

（3n²+n-4），
由n∈N^*得，當(dāng)n=1時(shí)，-

1

2

（3n²+n-4）的最大值是0，
所以S_n+1-S_n的最大值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．