Question

已知正數(shù)a，b，c組成等差數(shù)列，且公差不為零，那么由它們的倒數(shù)所組成的數(shù)列

1

a

，

1

b

，

1

c

能否成為等差數(shù)列？

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a≠b且b≠c且c≠a，且2b=a+c，a＞0，b＞0，c＞0．利用基本不等式的性質(zhì)可得2b＞2

ac

，ac＜b²．計(jì)算

1

a

+

1

c

-

2

b

是否等于0即可判斷出．

解答： 解：由已知得a≠b且b≠c且c≠a，且2b=a+c，a＞0，b＞0，c＞0．
∴2b＞2

ac

，∴ac＜b²．
∵

1

a

+

1

c

-

2

b

=

a+c

ac

-

2

b

=

2b

ac

-

2

b

=

2(b2-ac)

abc

＞0，
∴

1

a

+

1

c

≠

2

b

．
∴數(shù)列

1

a

，

1

b

，

1

c

不能成為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．