Question

1．在圓x²+y²=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，線段PD中點為M，當點P在圓上運動時，點M到直線l：x-y+1=0距離最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}-\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設出M點的坐標，由M為線段PD的中點得到P的坐標，把P的坐標代入圓x²+y²=4求得線段PD的中點M的軌跡方程；
再利用參數法求出點M到直線l：x-y+1=0距離最大值．

解答 解：設點M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁），
∵M為線段PD的中點，∴y₁+0=2y，y₁=2y；
又∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
∴點M的軌跡為橢圓，
設x=2cosθ，y=sinθ，
則點M到直線l：x-y+1=0的距離為
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，其中tanα=-2；
所以d的最大值為$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了求點的軌跡方程以及點到直線距離的應用問題，是較難的題目．