Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

x-a

，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題考察函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅰ）先寫出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，分a=0，a＞0，a＜0，利用導(dǎo)數(shù)的符號討論函數(shù)的單調(diào)性即可，
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中的函數(shù)單調(diào)性，對a進行分類討論，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四種情況進行討論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為{x|x≠a}.f′(x)=

x(x-2a)

(x-a)2

．
①當a=0時，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，則x∈（-∞，0），（0，+∞）時，f（x）為增函數(shù)；
②當a＞0時，
由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此時0＜a＜2a，所以x＞2a時，f（x）為增函數(shù)，x＜0時，f（x）為增函數(shù)；
由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考慮定義域，當0＜x＜a，f（x）為減函數(shù)，a＜x＜2a時，f（x）為減函數(shù)；
③當a＜0時，
由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此時2a＜a＜0，所以當x＜2a時，f（x）為增函數(shù)，x＞0時，f（x）為增函數(shù)．
由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考慮定義域，當2a＜x＜a，f（x）為減函數(shù)，a＜x＜0時，f（x）為減函數(shù)．
綜上，當a=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為x∈（-∞，0），（2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a），（a，2a）．
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為x∈（-∞，2a），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2a，a），（a，0）．
（Ⅱ）①當a≤0時，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（1，2）單調(diào)增，且x∈（1，2）時，x≠a．
②當0＜2a≤1時，即0＜a≤

1

2

時，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（2a，+∞）單調(diào)增，即在（1，2）單調(diào)增，且x∈（1，2）時，x≠a．
③當1＜2a＜2時，即

1

2

＜a＜1時，由（Ⅰ） 可得，f（x）在（1，2）上不具有單調(diào)性，不合題意．
④當2a≥2，即a≥1時，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）為減函數(shù)，
同時需注意a∉（1，2），滿足這樣的條件時f（x）在（1，2）單調(diào)減，所以此時a=1或a≥2．
綜上所述，a≤

1

2

或a=1或a≥2．

點評：本題易忽略函數(shù)的定義域，在討論函數(shù)的性質(zhì)的題目中一定要先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)討論；難點是分類討論較復(fù)雜，要做到不重不漏，按照數(shù)軸從左向右討論，還要注意特殊情況．