Question

（本小題8分）已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，且∣AB∣=2．

   （1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；

   （2）求過(guò)點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程．

 

Answer 1

【答案】

 (1)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+y²=1． (2) x=1  或3x-4y+5=0  。

【解析】本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮切線的斜率不存在的情況，這是易錯(cuò)點(diǎn)

（1）設(shè)P（x，y），由|AB|=2，且P為AB的中點(diǎn)，可得|OP|=1，由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P的軌跡方程．

（2）①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，由條件易得x=1符合條件；②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程，由切線的性質(zhì)可解得斜率k的值，用點(diǎn)斜式求得切線方程．

解: (1) 方法一：設(shè)P(x , y ),   

∵∣AB∣=2,且P為AB的中點(diǎn)，

∴∣OP∣=1                 ……………………2分

 ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=1．  ……………………4分

 方法二：設(shè)P(x , y )， ∵P為AB的中點(diǎn)，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分

又∵∣AB∣=2     ∴(2x)²+(2y)²=2             

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+y²=1． ……………4分

 (2) ①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1,

由條件易得  x=1符合條件;     ………………5分

②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 y-2=k(x-1)  即kx-y+2-k=0

 由     得k=,   ∴切線方程為y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0 

綜上，過(guò)點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程為：

x=1  或3x-4y+5=0      ……………………8分