Question

（本小題16分）已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0),△ABC的周長(zhǎng)為2＋2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡

為曲線W.

(1)直接寫(xiě)出W的方程（不寫(xiě)過(guò)程）；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，是否存在常數(shù)k，使得向量與向量共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè)W的左右焦點(diǎn)分別為F₁、 F₂，點(diǎn)R在直線l：x－y＋8＝0上．當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，求的值.

Answer 1

解：(1) W:   .

(2) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

整理，得.   ①    

因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于

，解得或.

設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

所以與向量共線等價(jià)于將②③代入上式，解得.

     所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線

（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，過(guò)R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切.

直線l與x軸于S(-8,0),∽

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