Question

已知F₁，F₂是橢圓

x2

25

+

y2

b2

=1（0＜b＜5）的兩個焦點，P是橢圓上一點，若∠F₁PF₂=60⁰，△F₁PF₂的面積為3

3

，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由橢圓的標準方程求得a，由△F₁PF₂的面積為3

3

，求得|PF₁|•|PF₂|的值，△F₁PF₂中，由余弦定理、
橢圓的定義可得b²的值，進而求得c，由e=

c

a

 求出離心率e 的值．

解答：解：∵F₁，F₂是橢圓

x2

25

+

y2

b2

=1（0＜b＜5）的兩個焦點，∴a=5，c=

25-b2

．
∵△F₁PF₂的面積為3

3

=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°，∴|PF₁|•|PF₂|=12．
△F₁PF₂中，由余弦定理可得 4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°，
即 4（25-b²）=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|=4a²-36=64，
∴b²=9，c=4，故離心率為 e=

c

a

=

4

5

，
故答案為：

4

5

．

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，求出b²的值是解題的關鍵．