Question

記F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），則F（x，y）的最小值是（　�。�

• A、

  12

  5

• B、

  16

  5

• C、

  18

  5

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示點(diǎn)A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），兩點(diǎn)之間距離的平方，點(diǎn)A的軌跡方程是y=

x

3

，點(diǎn)B的軌跡方程是y=-

3

x

，求出平行于y=

x

3

與y=-

3

x

相切的直線方程為y=

x

3

+b，即可得出結(jié)論．

解答： 解：F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示點(diǎn)A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），兩點(diǎn)之間距離的平方，
點(diǎn)A的軌跡方程是y=

x

3

，點(diǎn)B的軌跡方程是y=-

3

x

，
設(shè)平行于y=

x

3

與y=-

3

x

相切的直線方程為y=

x

3

+b，
由y=-

3

x

，可得y′=

3

x2

，
令

3

x2

=

1

3

，可得x=3或-3，
∴y=-1或1，
代入y=

x

3

+b，可得b=-2或2，
∴兩點(diǎn)之間距離的最小值是

2

1 9 +1

，
∴F（x，y）的最小值是

18

5

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確理解F（x，y）=（x-y）²+（

x

3

+

3

y

）²（y≠0），表示點(diǎn)A（x，

x

3

），B（y，-

3

y

），兩點(diǎn)之間距離的平方是關(guān)鍵．