Question

如圖，將正△ABC分割成16個(gè)全等的小正三角形，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于同一直線上的點(diǎn)放置的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，則所有頂點(diǎn)的數(shù)之和S=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,推理和證明

分析：根據(jù)等差中項(xiàng)法分別求解n=2，3，4時(shí)的值，由此歸納出f（n）的值即可．

解答： 解：由題意可得，（各點(diǎn)放的數(shù)用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示）
當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2=

3×4

6

，
當(dāng)n=3時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，
同樣根據(jù)等差中項(xiàng)可得，M的數(shù)為

1

3

，所以f（3）=3+

1

3

=

4×5

6

，
依次可知結(jié)論為f（n）=

n(n+1)

6

，那么可知頂點(diǎn)A，B，C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，
則n=5時(shí)，所有頂點(diǎn)的數(shù)之和S=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．