如圖，在直三棱柱中，面ABCD和面ABFE都為正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)．

(1)求證：OM∥平面BCF；

(2)求證：平面MDF⊥平面EFCD；

(3)求二面角F－DM－C的正切值．

答案：
解析：

　　(1)證明：取CF中點(diǎn)G，連結(jié)BG、OG．

　　∵O、G是FD、FC中點(diǎn)，∴四邊形MOGB是平行四邊形．

　　∴MO∥BG．

　　∵M(jìn)O平面BCF，GB平面BCF，

　　∴MO∥平面BCF．

　　(2)證明：由題可知，BF＝BC．

　　∵FG＝CG，∴BG⊥CF．

　　∵CD⊥平面BCF，∴CD⊥BG．

　　∵BG∩CF＝G，∴BG⊥平面EFCD．

　　∵M(jìn)O∥BG，∴MO⊥平面EFCD．

　　∵OM平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD．

　　(3)解：延長DM，作BH⊥DM于H，連結(jié)FH．

　　由面ABFE和面ABCD垂直，得FB⊥平面ABCD，

　　∴∠FHB即為二面角F－DM－C的平面角．

　　設(shè)BF＝a，則BC＝AB＝a，△BMH∽△DMA，

　　故，∴BH＝．

　　∴tan∠FHB＝，即二面角F－DM－C的正切值為．

　　解析：(1)想法在平面BCF內(nèi)找一條與OM平行的直線；(2)想法證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(3)首先作出二面角的平面角．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA1=
2
，M為A1B1的中點(diǎn)，則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中， AB=1，，

∠ABC=60.

(1)證明：；

（2）求二面角A——B的正切值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年天津市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省高三2月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆云南省高二9月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

求證：（1）；（2）平面.

 

 

 

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