Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求三棱錐V C-B1FE的體積；
（Ⅲ）求二面角E-CF-B₁的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結BD₁，由已知得EF∥D₁B，由此能證明EF∥面ABC₁D₁．
（Ⅱ）由已知得CF⊥BD，DD₁⊥面ABCD，DD₁⊥CF，從而CF⊥平面EFB₁，即CF為高，由VB1-EFC=VC-B1EF，利用等積法能求出三棱錐V C-B1FE的體積．
（Ⅲ）由已知得二面角E-CF-B₁的平面角為∠EFB₁，由此能求出二面角E-CF-B₁的大小．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：連結BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點，
∵EF為中位線，∴EF∥D₁B，
而D₁B?面ABC₁D₁，EF不包含于面ABC₁D₁，
∴EF∥面ABC₁D₁．
（Ⅱ）解：等腰直角三角形BCD中，F(xiàn)為BD中點
∴CF⊥BD，①
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥面ABCD，CF?面ABCD，∴DD₁⊥CF，②
綜合①②，且DD₁∩BD=D，DD₁，BD?面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，即CF為高，CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B₁F=

BF2+BB12

=

2+4

=

6

，
B1E=

B1D12+D1E2

=

1+8

=3，
∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，
∴S△B1EF=

1

2

EF•B1F=

3 2

2

，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

2

S△B1EF•CF=

1

3

•

3 2

2

•

2

=1．
（Ⅲ）解：∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴二面角E-CF-B₁的平面角為∠EFB₁
由題意得EF=

3

，B1F=

6

，B1E=9
則EF2+B1F2=B1E2
故∠EFB₁=90°
∴二面角E-CF-B₁的大小為90°．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．