Question

已知i是虛數(shù)單位，能使得（1+i）²ⁿ=-2ⁿi成立的最小正整數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由（1+i）²=2i，（1+i）²ⁿ=（2i）ⁿ=2ⁿ•iⁿ=-2ⁿ•i，得n=4k+3，其中k為非負(fù)整數(shù)，由此能夠求出使得（1+i）²ⁿ=-2ⁿi成立的最小正整數(shù)．

解答： 解：由（1+i）²=2i，得
（1+i）²ⁿ=（2i）ⁿ=2ⁿ•iⁿ=-2ⁿ•i，
∴iⁿ=-i，
∵只有i^4k+3=-i，
∴n=4k+3，其中k為非負(fù)整數(shù)
當(dāng)k=0時(shí)，n=3．
∴能使得（1+i）²ⁿ=-2ⁿi成立的最小正整數(shù)是3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．