Question

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=

1

2

CD，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC不包含于平面DMF，
∴AC∥平面DMF．（4分）
（Ⅱ）方法一：過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，
∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，
過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，則直線l⊥平面MGH，∴l(xiāng)⊥MH，
∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．（8分）
設(shè)AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×

2

5

=

2

5

，MG=

1

2

DE=1，則MH=

( 2 5 )2+12

=

3

5

，（11分）
∴cos∠MHG=

GH

MH

=

2

5

÷

3

5

=

2

3

，
∴所求二面角的余弦值為

2

3

．（12分）
方法二：∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，
分別以

DA

，

DC

，

DE

的方向?yàn)閤，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)AB=2，則M（1，0，1），F(xiàn)（0，4，2），

DM

=(1，0，1)，

DF

=(0，4，2)，
設(shè)平面MDF的法向量n₁=（x，y，z），
則

n1• DM =0 n1• DF =0

，∴

x+z=0 4y+2z=0

，
令y=1，得平面MDF的一個(gè)法向量

n

=（2，1，-2），（8分）
取平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），（9分）
由cos＜

n

，

m

＞=

-2

4+1+4 ×1

=-

2

3

，（11分）
∴平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為

2

3

．（12分）