已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．
（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)O，連接OF、
OE．∴FO∥DC，且FO=
1
2
DC
∴FO∥AE
又E是AB的中點(diǎn)．且AB=DC．∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形．∴AF∥OE
又OE?平面PEC，AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC
（Ⅱ）連接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中，tan∠PCA=
PA
AC
=
1
5
=
5
5

即直線PC與平面ABCD所成的角正弦值為
6
6

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延長線于M．連接PM，由三垂線定理．得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
由△AME∽△CBE，可得AM=
2
2
，∴tan∠PMA=
PA
AM
=
2

∴二面角P一EC一D的余弦值為
6
6
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=
6
，
E為PC的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在五面體P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=
15
，PD=
3
．
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P-BC-A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)O在二面角α-AB-β的棱上，點(diǎn)P在α內(nèi)，且∠POB=45°．若對于β內(nèi)異于O的任意一點(diǎn)Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=
3
AD，
（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=90°．則二面角B1-AC-B的大小為______；點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在一個60°的二面角的棱上，有兩個點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，則CD的長為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=
1
2
CD，M是線段AE上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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同步練習(xí)冊答案