【題目】已知橢圓過點,離心率為,為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)為橢圓上的三點,與交于點,且,當的中點恰為點時,判斷的面積是否為常數(shù),并說明理由.
【答案】(1);(2)的面積是常數(shù)為,理由見解析.
【解析】
(1)由題a=再由離心率,求得c,再由,即可求得方程;(2)若點是橢圓的右頂點,求得的面積為,若點不是橢圓的左、右頂點,則設(shè)直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立,由韋達定理得的坐標,弦長公式,點到線的距離公式,進而求出的面積為常數(shù)
(1)由已知易得,
∴,
故橢圓的標準方程為:.
(2)①若點是橢圓的右頂點(左頂點一樣),則,
∵,在線段上,
∴,此時軸,求得,
∴的面積等于.
②若點不是橢圓的左、右頂點,則設(shè)直線的方程為:,,,
由得,則,,
∴的中點的坐標為,
∴點的坐標為,將其代入橢圓方程,化簡得.
∴ .
點到直線的距離,
∴的面積.
綜上可知,的面積為常數(shù).
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【題目】環(huán)保部門要對所有的新車模型進行廣泛測試,以確定它的行車里程的等級,下表是對100輛新車模型在一個耗油單位內(nèi)行車里程(單位:公里)的測試結(jié)果.
分組 | 頻數(shù) |
6 | |
10 | |
20 | |
30 | |
18 | |
12 | |
4 |
(1)做出上述測試結(jié)果的頻率分布直方圖,并指出其中位數(shù)落在哪一組;
(2)用分層抽樣的方法從行車里程在區(qū)間與的新車模型中任取5輛,并從這5輛中隨機抽取2輛,求其中恰有一個新車模型行車里程在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個容量為m的樣本,用分層抽樣的方法進行抽樣調(diào)查,樣本中的中年人為6人,則n和m的值不可以是下列四個選項中的哪組( )
A.n=360,m=14B.n=420,m=15C.n=540,m=18D.n=660,m=19
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黨中央、國務(wù)院歷來高度重視青少年的健康成長.“少年強則國強”,青少年身心健康、體魄強健、意志堅強、充滿活力,是一個民族旺盛生命力的體現(xiàn),是社會文明進步的標志,是國家綜合實力的重要方面.全面實施《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》,把健康素質(zhì)作為評價學(xué)生全面健康發(fā)展的重要指標,是新時代的要求.《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》有一項指標是學(xué)生體質(zhì)指數(shù)(),其計算公式為:,當時,認為“超重”,應(yīng)加強鍛煉以改善.某高中高一、高二年級學(xué)生共2000人,人數(shù)分布如表(a).為了解這2000名學(xué)生的指數(shù)情況,從中隨機抽取容量為160的一個樣本.
表(a)
性別 年級 | 男生 | 女生 | 合計 |
高一年級 | 550 | 650 | 1200 |
高二年級 | 425 | 375 | 800 |
合計 | 975 | 1025 | 2000 |
(1)為了使抽取的160個學(xué)生更具代表性,宜采取分層抽樣,試給出一個合理的分層抽樣方案,并確定每層應(yīng)抽取出的學(xué)生人數(shù);
(2)分析這160個學(xué)生的值,統(tǒng)計出“超重”的學(xué)生人數(shù)分布如表(b).
表(b)
性別 年級 | 男生 | 女生 |
高一年級 | 4 | 6 |
高二年級 | 2 | 4 |
(。┰嚬烙嬤@2000名學(xué)生中“超重”的學(xué)生數(shù);
(ⅱ)對于該校的2000名學(xué)生,應(yīng)用獨立性檢驗的知識,可分析出性別變量與年級變量哪一個與“是否超重”的關(guān)聯(lián)性更強.應(yīng)用卡方檢驗,可依次得到的觀測值,,試判斷與的大小關(guān)系.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù),設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,若對任意的,均有,求的取值范圍.
注:為自然對數(shù)的底數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,是圓M內(nèi)一定點,動點P為圓M上任意一點,線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點C.
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與C交于不同兩點A,B,點O為坐標原點,當的面積S取最大值時,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,共享單車已經(jīng)悄然進入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾,某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評價反饋系統(tǒng),以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價,現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出條較為詳細的評價信息進行統(tǒng)計,車輛狀況和優(yōu)惠活動評價的列聯(lián)表如下:
對優(yōu)惠活動好評 | 對優(yōu)惠活動不滿意 | 合計 | |
對車輛狀況好評 | |||
對車輛狀況不滿意 | |||
合計 |
(1)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系?
(2)為了回饋用戶,公司通過向用戶隨機派送騎行券,用戶可以將騎行券用于騎行付費,也可以通過轉(zhuǎn)贈給好友某用戶共獲得了張騎行券,其中只有張是一元券現(xiàn)該用戶從這張騎行券中隨機選取張轉(zhuǎn)贈給好友,求選取的張中至少有張是一元券的概率.
附:下面的臨界值表僅供參考:
(參考公式: ,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)研究表明,人極易受情緒的影響,某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
(1)在不受情緒的影響下,該選手每局獲勝的概率為;但實際上,如果前一句獲勝的話,此選手該局獲勝的概率可提升到;而如果前一局失利的話,此選手該局獲勝的概率則降為,求該選手在前3局獲勝局數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響,且三局比賽獲勝的概率為,記為銳角的內(nèi)角,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin2A+sin2B+sin2C=sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A.
(1)證明:△ABC是正三角形;
(2)如圖,點D在邊BC的延長線上,且BC=2CD,AD,求sin∠BAD的值.
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