Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和函數(shù)g（x）=ln（1+x²）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知關(guān)于x的方程f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根，求證方程f（f（x））=x也沒有實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：
①當(dāng)，即a≤﹣1時(shí)，g′（x）≤0對x∈R恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，令g′（x）＞0，則ax²+2x+a＞0
∴，
令g′（x）＜0，則ax²+2x+a＜0
∴或，
∴上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；  
綜上所述，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞增，
在和上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：∵關(guān)于x的方程f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根
∴ax²+bx+c=x沒有實(shí)數(shù)根
∴ax²+（b﹣1）x+c=0沒有實(shí)數(shù)根
∴△=（b﹣1）²﹣4ac＜0
∵f（f（x））=x
∴a（ax²+bx+c）²+b（ax²+bx+c）+c=x
∴[ax²+（b﹣1）x+c][a²x²+a（b+1）x+b+ac+1]=0
∵ax²+（b﹣1）x+c≠0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0
∵△=a²（b+1）²﹣4a²（b+ac+1）=a²[（b+1）²﹣4（b+ac+1）]=a²[（b﹣1）²﹣4ac﹣4]＜0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0無實(shí)根
∴方程f（f（x））=x也沒有實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由g（x）＜g（0）=0
得：ln（1+x²）＜x，
∴
           =lne，
∴e