Question

【題目】已知a，b，c為正數，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|.

（1）若a＝b＝c＝1，求函數f（x）的最小值；

（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求證：b3c+c3a+a3b＞abc.

Answer 1

【答案】（1）最小值2（2）證明見解析

【解析】

（1）法1：去絕對值，化為分段函數，求出最值，

法2：根據絕對值三角不等式，求出最值，

（2）法1：根據基本不等式即可證明，

法2：根據柯西不等式即可證明.

（1）因為a＝b＝c＝1，

所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，

法1：由上可得：

所以，當x＝﹣1時，函數f（x）的最小值為2；

法2：f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，

當且僅當，即x＝﹣1時取得最小值2；

（2）因為a，b，c為正數，所以要證b3c+c3a+a3b.，

即證明就行了，

法1：因為2222（a+b+c），當且僅當a＝b＝c時取等號.

又因為f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，

所以，

即b3c+c3a+a3b，

法2：因為（a+b+c），當且僅當取等號，

又因為f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，

所以，

即b3c+c3a+a3b.