Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$，判斷下列六個命題的真假：
（1）f（x）＜1
（2）f（x）沒有最大值
（3）f（x）是周期函數(shù)                      
（4）f（x）是偶函數(shù)
（5）f（x）的相鄰零點的差的絕對值為常數(shù)；  
（6）當x=$\frac{3}{2}$π時，f（x）取得最小值．
其中真命題有（1）（2）（4）．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 分析函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$的圖象和性質，進而判斷6個命題的真假，可得結論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示y=sinx一點（x，sinx）與原點連線的斜率，
故當點（x，sinx）與原點連線與y=sinx相切時，取得最大值，
由y′=cosx可得y=sinx切線斜率的最大值為1，
又由x≠0，故$\frac{sinx}{x}$≠1，
即f（x）＜1，
故（1）正確，（2）正確；
函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$不是周期函數(shù)，故（3）錯誤；
函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$滿足f（-x）=f（x），是偶函數(shù)，故（4）正確；
令f（x）=0，則sinx=0，x=kπ，k∈Z且k≠0，
則f（x）的相鄰正零點和相鄰負零點的差的絕對值為常數(shù)π，
但最大的負零點-π與最小的正零點π之間差的絕對值為2π，
故（5）錯誤；
f（x）有最大值，但最小值點不是$\frac{3}{2}$π，故（6）錯誤；
故真命題為：（1）（2）（4），
故答案為：（1）（2）（4）

點評 考查的知識點是命題的真假判斷與應用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．