Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn-n=2（an-2），（n∈N*）

（1）證明：數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列．

（2）若bn=anlog2（an-1），數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為Tn，求Tn．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）．

【解析】

證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法是作商法：當(dāng)時(shí)，證=定值.

考查分組求和，其中又包含錯(cuò)位相減法及等差數(shù)列求和公式法

（1）證明：∵Sn-n=2（an-2），n≥2時(shí)，Sn-1-（n-1）=2（an-1-2），

兩式相減an-1=2an-2an-1 ，∴an=2an-1，∴an-1=2（an-1-1），

∴（常數(shù)），

又n=1時(shí)，a1-1=2（a1-2）得a1=3，a1-1=2 ，

所以數(shù)列{an-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

（2）由（1），∴，

又bn=anlog2（an-1），∴，

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1×2+2×22+3×23+…+n×2n）+（1+2+3+…+n），

設(shè)，

，

兩式相減，

∴，又，

∴．