Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）已知不等式3ln（x+1）＜3x+m對(duì)一切x＞-1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0求出其單調(diào)區(qū)間，從而確定其最值．
（2）先進(jìn)行參數(shù)分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成m＞3ln（x+1）-3x對(duì)x＞-1恒成立，令g（x）=3ln（x+1）-3x，則m＞g（x）_max即可，再對(duì)g（x）求導(dǎo)確定其最大值．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-x+1的定義域?yàn)椋?，∞），f′(x)=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，0＜x＜1；令f′（x）＜0，x＞1．
∴f（x）的增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，+∞），且f（x）在x=1處取得極大值也是最大值0，沒(méi)有最小值．
（2）由3ln（x+1）＜3x+m，得m＞3ln（x+1）-3x對(duì)x＞-1恒成立，
令g（x）=3ln（x+1）-3x，
只須m＞g（x）_max即可．
g′(x)=

3

x+1

-3=

-3x

x+1

，（x＞-1）
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（0）=0得m＞0
故m的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)題型：1．已知函數(shù)表達(dá)式，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；2．已知函數(shù)單調(diào)性，求其中的參數(shù)范圍．兩種題型都是很常見(jiàn)也是經(jīng)�？疾斓膬�(nèi)容，學(xué)生在做題時(shí)要注意區(qū)分．