Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ為常數(shù)，且λ≠-1，0，n∈N⁺
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q=f（λ），數(shù)列{b_n}滿足，b_n=f（b_n-1）（n∈N⁺，n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）設(shè)，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)n≥2時，2≤T_n＜4．

Answer 1

（1）證明：
由 S_n=（1+λ）-λa_n，①
得 S_n+1=（1+λ）-λa_n+1，②（n∈N⁺）
②-①得S_n+1-S_n=-λa_n+1+λa_n，
即a _n+1=-λa_n+1+λa_n，
移向整理得（1+λ）a _n+1=λa_n，
∵λ≠-1，0，又得a_n+1=，是一個與n無關(guān)的非零常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

（2）解：由（1）可知q=f（λ）=，∴b_n=f（b_n-1）=
兩邊取倒數(shù)得出==+1，移向得出-=1 （n∈N⁺，n≥2），
∴{}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)=2，公差為1．
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得
=2+（n-1）×1=n+1
∴b_n=．

（3）證明：當(dāng)λ=1時數(shù)列{a_n}的公比q=f（λ）==，
在S_n=（1+λ）-λa_n，中令n=1時，得出a₁=2-a₁，解得a₁=1．
∴等比數(shù)列{a_n}的 通項(xiàng)公式為a_n=a₁•q^n-1=
從而=•[（n+1）-1]=n•＞0，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n隨n的增大而增大．
由 T_n=1•+2•+3•+…n•
得 T_n=1•+2•+…（n-1）•+n•
兩式相減得
T_n=+++…-n•
=-n•
=2-（n+2）•
∴T_n=4-（n+2）•
當(dāng)n≥2時，T_n≥T₂=4-4•=2． 易知T_n＜4．
所以當(dāng)n≥2時，2≤T_n＜4．
分析：（1）由已知S_n=（1+λ）-λa_n，得出 S_n+1=（1+λ）-λa_n+1，（n∈N⁺），兩式相減，化簡整理（1+λ）a _n+1=λa_n，結(jié)合λ的條件，又得a_n+1=，是一個與n無關(guān)的非零常數(shù)．由此進(jìn)行判斷．
（2）由（1）應(yīng)得出q=f（λ）=，從而b_n=f（b_n-1）=，將此式兩邊取倒數(shù)，并化簡整理得出-=1 （n∈N⁺，n≥2），根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{} 的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由上=•[（n+1）-1]=n•，利用錯位相消法求出T_n再去證明不等式．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，錯位相消法數(shù)列求和．考查轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、計算、證明能力．