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【題目】已知橢圓，上頂點為，焦點為，點是橢圓上異于點的不同的兩點，且滿足直線與直線斜率之積為.

（1）若為橢圓上不同于長軸端點的任意一點，求面積的最大值；

（2）試判斷直線是否過定點；若是，求出定點坐標；若否，請說明理由.

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）設，由即可得解；

（2）由題意， ，直線的斜率不為0，設直線的方程為： ， ， ，由直線與橢圓聯立得，由直線與直線斜率之積為，利用坐標表示得，解得或，進而可得解.

試題解析：

（1）設，則.

∴面積的最大值為.

（2）由題意， ，直線的斜率不為0，設直線的方程為： ，

設， ，由，得

①

， ②

∵直線與直線斜率之積為

∴，

將②式代入，化簡得，解得或

（若設直線的斜截式方程，此處可直接求出直線的縱截距為2或）

當時，直線的方程為： ，過定點，不符合題意；

當時，直線的方程為： ，過定點，將代入①式，

解得

∴直線過定點.

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