Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，對任意正整數n都有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項的和S_n；
（3）如果對于一切非零自然數n都有na_n≥λ（S_n-2）恒成立，求實數λ的最大值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）通過遞推關系式，判斷{

an

n

}是以2為首項，2為公比的等比數列，求出通項公式即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）直接利用錯位相減法求數列{a_n}的前n項的和S_n；
（3）通過na_n≥λ（S_n-2）恒成立，求出λ在一側的不等式，通過基本不等式求出最值，即可求實數λ的最大值．

解答： 解：（1）∵a₁=2，na_n+1=2（n+1）a_n，
∴

an+1 n+1

an n

=2，
所以{

an

n

}是以

a1

1

=2為首項，2為公比的等比數列，
∴

an

n

=2×2n-1=2n，an=n×2n
所以數列{a_n}的通項公式是an=n•2n；
（2）Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2ⁿ，
可得2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2ⁿ⁺¹，
用錯位相減法，數列{a_n}的前n項的和Sn=(n-1)×2n+1+2；
（3）對于一切非零自然數n都有na_n≥λ（S_n-2）恒成立，
把an=n•2n，Sn=(n-1)×2n+1+2代入na_n≥λ（S_n-2）得到：n²≥2λ（n-1）對于一切非零自然數n成立．
當n=1時，λ為任意實數，
當n≥2時，等價于

n2

n-1

≥2λ對于一切非零自然數n成立．
等價于函數y=

n2

n-1

(n≥2)的最小值≥2λ，
而∵n≥2，∴y=

n2

n-1

=

[(n-1)+1]2

n-1

=(n-1)+

1

n-1

+2=[

(n-1)

-

1

n-1

]2+4≥4．
當n=2時取等號，所以函數y=

n2

n-1

(n≥2)的最小值4≥2λ，λ≤2，
綜合得到，所以實數λ的取值范圍為（-∞，2]．所以實數λ的最大值為2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，數列求和的方法錯位相減法的應用，數列與不等式的關系，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．