Question

對于函數(shù)f（x）=

sinx 當(dāng)sinx≥cosx cosx 當(dāng)sinx＜cosx

，下列命題正確的是（　�。�

• A、值域[-1，1]
• B、當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

  π

  2

  ，（k∈Z）取得最大值
• C、最小正周期為π
• D、當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

  3π

  2

  ，（k∈Z）時(shí)f（x）＜0

Answer 1

考點(diǎn)：四種命題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，討論函數(shù)f（x）的定義域、值域，單調(diào)性與最值，從而得出正確的結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

sinx 當(dāng)sinx≥cosx cosx 當(dāng)sinx＜cosx

，
∴當(dāng)sinx≥cosx時(shí)，

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ，
sinx＜cosx時(shí)，-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ（k∈Z）；
∴f（x）=

sinx， π 4 +2kπ≤x≤ 5π 4 +2kπ cosx，- 3π 4 +2kπ＜x＜ π 4 +2kπ，k∈Z

，
∴f（x）的值域?yàn)閇-

2

2

，1]，A錯(cuò)誤；
當(dāng)x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值為1，∴B錯(cuò)誤；
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x），
∴f（x）不是以π為最小正周期的周期函數(shù)，∴C錯(cuò)誤；
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
又當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

，（k∈Z）時(shí)，f（x）＜0，∴D正確；
綜上，正確的命題是D．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性與周期性的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．