Question

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，a₃……，a_n，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁，b₂，b₃，……，b_n，使這

n＋2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記A_n=a₁a₂a₃……a_n，B_n=b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n.

（Ⅰ）求數(shù)列｛A_n｝和｛B_n｝的通項(xiàng)；

（Ⅱ）當(dāng)n≥7時(shí)，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2 則A1=a1=1·q  A2=1·q·1·q2  A3=1·q·1·q2·1·q3 又∵an＋2=1·qn＋1=2得qn＋1=2 An=q·q2…qn=q（n=1，2，3…） 又∵bn＋2=1＋（n＋1）d=2  ∴（n＋1）d=1 B1=b1=1＋d  B2=b2＋b1=1＋d＋1＋2d  Bn=1＋d＋…＋1＋nd=n （Ⅱ）An＞Bn，當(dāng)n≥7時(shí) 證明：當(dāng)n=7時(shí)，23．5=8·=An  Bn=×7，∴An＞Bn 設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，An＞Bn，則當(dāng)n=k＋1時(shí)，          又∵Ak+1=·       且Ak＞Bk  ∴Ak＋1＞·k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又 ∵k=8，9，10…  ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞Bn成立.