【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),若對任意的,恒成立,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) (1)若,在上單調(diào)遞增;(2)若,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減; (Ⅱ).
【解析】
(I)先求得函數(shù)的導數(shù)和定義域,然后對分成兩類,討論函數(shù)的單調(diào)性.(II)將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為“對任意的恒成立”,根據(jù)(I)的結(jié)論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,以及恒成立,求得的取值范圍.
(Ⅰ) ,
(1)若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(2)若,由得;由得
函數(shù)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由題設(shè),對任意的恒成立
即對任意的恒成立
即對任意的恒成立 ,
由(Ⅰ)可知,
若,則,不滿足恒成立,
若,由(Ⅰ)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
,又恒成立
,即,
設(shè),則
函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,
,解得
的取值范圍為 .
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在和處有兩個極值點,其中,.
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)若(e為自然對數(shù)的底數(shù)),求的最大值.
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【題目】已知實數(shù)a滿足1<a≤2,設(shè)函數(shù)f (x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ) 當a=2時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同,
求證:g(x)的極大值小于等于10.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,在正三棱柱中,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)在線段上是否存在點?使得二面角的大小為60°,若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在空間之間坐標系中,四棱錐的底面在平面上,其中點與坐標原點重合,點在軸上,,,頂點在軸上,且,.
(1)求直線與平面所成角的大。
(2)設(shè)為的中點,點在上,且,求二面角的正弦值.
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【題目】如圖1,四邊形是邊長為2的菱形,,為的中點,以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)求點到平面的距離.
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【題目】在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論,并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結(jié)論是成立的,下列說法中正確的是( )
A.100個吸煙者中至少有99人患有肺癌
B.1個人吸煙,那么這個人有99%的概率患有肺癌
C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人
D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有
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