Question

【題目】已知和個(gè)實(shí)數(shù)若有窮數(shù)列由數(shù)列的項(xiàng)重新排列而成,且下列條件同時(shí)成立：① 個(gè)數(shù)兩兩不同；②當(dāng)時(shí)，都成立，則稱(chēng)為的一個(gè)“友數(shù)列”.

(1)若寫(xiě)出的全部“友數(shù)列”；

(2)已知是通項(xiàng)公式為的數(shù)列的一個(gè)“友數(shù)列”，且求(用表示)；

(3)設(shè)求所有使得通項(xiàng)公式為的數(shù)列不能成為任何數(shù)列的“友數(shù)列”的正實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)(用表示).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)分類(lèi)討論即可得到結(jié)果；

（2）由條件①知：3n個(gè)數(shù)兩兩不同，又 ，

，∴差值最大為3n，分類(lèi)討論即可得到結(jié)果；

（3）根據(jù)“友數(shù)列”的定義，分析即可得到結(jié)果.

解：（1）若 則 中存在兩個(gè)1，不妨設(shè)，

則有 與②矛盾，

故有則，

∴

∴

即好數(shù)列 ；

（2）由條件①知：3n個(gè)數(shù)兩兩不同，又 ，

，

∴差值最大為3n，

而令k取1時(shí)，由，

，

若，則，

而時(shí)，

故只可能為某個(gè) 且 使，

則，矛盾，

∴必有則有，即 ，

其次，若

則此時(shí)差值中除外最大，

則有，，又，

∴，而，

則矛盾，

∴必有即

同理，若則有使

，且，

且，∴矛盾，

∴必有即，

接著考慮： ，，

若，

則有，使得，

又 ，矛盾，

∴

依次類(lèi)推即可.

故對(duì)于 時(shí)，

且，

，

，

聯(lián)立，得，

∴，

對(duì)于 時(shí)，

，

，

，

聯(lián)立，得，

∴，

（3） ，

若 為一個(gè)數(shù)列的“友數(shù)列”，

則亦為一個(gè)數(shù)列的友數(shù)列，

故不妨設(shè) ，則所有差排列如下：

：時(shí)，易知與條件①②矛盾；

：時(shí)，

，

，

觀(guān)察上面式子，若不存在，則先比較：與

，

，

在比較與大小，

，

綜上，不存在滿(mǎn)足題意的q值.