Question

（本題滿分12分） 如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝（>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設(shè)AE＝，綠地面積為.

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，綠地面積最大？  （10分） 

Answer 1

（1）y＝－2x²＋（＋2）x，(0<x≤2) ；
（2）當(dāng)<6時(shí)，AE＝時(shí)，綠地面積取最大值
當(dāng)≥6時(shí)，AE＝2時(shí)，綠地面積取最大值2－4。

試題分析：（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）知y是關(guān)于x的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法求解．
解：（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）
∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x
∴y＝－2x²＋（＋2）x，(0<x≤2)    （4分）
（2）當(dāng)，即<6時(shí)，則x＝時(shí)，y取最大值
當(dāng)≥2，即≥6時(shí)，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函數(shù)，
則x＝2時(shí)，y取最大值2－4
綜上所述：當(dāng)<6時(shí)，AE＝時(shí)，綠地面積取最大值
當(dāng)≥6時(shí)，AE＝2時(shí)，綠地面積取最大值2－4。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用間接法，分割的思想來(lái)得到四邊形EFGH的面積，從而建立關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用該函數(shù)的思想求解最值。