Question

已知函數(shù)f（x）=2（-）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)式y(tǒng)=f（x）中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．
（2）欲判定f^-1（x）的奇偶性，只須看看f^-1（x）與f^-1（-x）的關(guān)系即可；
（3）欲解log_a＞1，先對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化為分式不等式求解即可．
解答：解：（1）化簡(jiǎn)，得f（x）=．
設(shè)y=，則a^x=．
∴x=log_a．
∴所求反函數(shù)為
y=f^-1（x）=log_a（-1＜x＜1）．
（2）∵f^-1（-x）=log_a=log_a（）^-1=-log_a=-f^-1（x），
∴f^-1（x）是奇函數(shù)．
（3）log_a＞1．
當(dāng)a＞1時(shí)，
原不等式⇒＞a⇒＜0．
∴＜x＜1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式
解得
∴-1＜x＜．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，所求不等式的解集為（，1）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所求不等式的解集為（-1，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)、函數(shù)奇偶性的判斷、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等，屬于中檔題．