Question

【題目】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，O為坐標原點，點在雙曲線上．

（I）求雙曲線C的方程．

（II）若斜率為1的直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且=0，求直線l方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（I）根據題干可得到雙曲線的方程可設為3x2﹣y2=3a2，代入點M可得到a值；（II）設直線PQ的方程為y=x+m，聯(lián)立此直線和雙曲線方程，得到兩根的和與乘積，由=0得x1x2+y1y2=0，代入韋達定理可得到結果.

（I）雙曲線C的漸近線方程為，

∴，雙曲線的方程可設為3x2﹣y2=3a2．

∵點M（，）在雙曲線上，可解得a=2，∴雙曲線C的方程為．

（II）設直線PQ的方程為y=x+m，點P（x1，y1），Q（x2，y2），

將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，

可化為2x2﹣2mx﹣m2﹣12=0,

x1+x2=m，x1x2=，

由=0得x1x2+y1y2=0，把y1=x1+m，y2=x2+m代入上式可得2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴，

化簡得m2=12．直線方程或.