設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；
（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）判斷函數(shù)是否滿足題設(shè)條件；
（3）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v，若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由。

解：（1）由題設(shè)條件可知，當(dāng)時(shí)，有

即。
（2）函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件，驗(yàn)證如下：

對任意的
當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，同理有
當(dāng)，不妨設(shè)
有
所以，函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件。
（3）這樣滿足的函數(shù)不存在，理由如下：
假設(shè)存在函數(shù)f（x）滿足條件，則由得
①
由于對任意的，都有
所以，②
①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在。
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    設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
    （1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
    （2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    設(shè)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y=f（x）的判斷：
    ①y=f（x）是周期函數(shù)；
    ②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
    ③y=f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
    ④f(
    12
    )=0    ．
    其中正確判斷的序號是
     
    ．（把你認(rèn)為正確判斷的序號都填上）

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個(gè)條件：
    （1）y=f（x）是偶函數(shù)；
    （2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
    （3）T=2為y=f（x）的一個(gè)周期．
    如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有
    3
    3
    個(gè)．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    （2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
    （Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
    （Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
    1+x，x∈[-1，0)
    1-x，x∈[0，1]
    是否滿足題設(shè)條件；
    （Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
    若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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    科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

    （2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
    （Ⅰ）證明：對任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
    （Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
    （Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得
    |f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
    1
    2
    ]
    |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
    1
    2
    ，1]
    ；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．

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