Question

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）證明：對任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得

|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0， 1 2 ] |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[ 1 2 ，1]

；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用條件②，可得當x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，從而可得結(jié)論；
（II）分類討論，利用條件②，即可得到結(jié)論；
（III）利用反證法，利用條件引出矛盾，即可得解．

解答：（Ⅰ）證明：由題設條件可知，
當x∈[-1，1]時，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]，
當|u-v|≤1時，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
當|u-v|≤1時，u•v＜0，不妨設u∈[-1，0），v∈（0，1]，則v-u＞1
從而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
綜上可知，對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）解：這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在．理由如下：
假設存在函數(shù)f（x）滿足條件，則由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
u，v∈[

1

2

，1]得|f(

1

2

)-f(1)|=|

1

2

-1|=

1

2

又f（1）=0，所以|f(

1

2

)|=

1

2

①
又因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，
由條件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
u，v∈[0，

1

2

]得|f(

1

2

)|=|f(

1

2

)-f(0)|＜|

1

2

-0|=

1

2

所以|f(

1

2

)|＜

1

2

②
①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數(shù)不存在．

點評：本小題考查函數(shù)、不等式等基本知識，考查綜合運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．