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設y=f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數，給出下列關于函數y=f（x）的判斷：
①y=f（x）是周期函數；
②y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③y=f（x）在[0，1]上是增函數；
④f(
12
)=0．
其中正確判斷的序號是
 
．（把你認為正確判斷的序號都填上）
分析：由題意y=f（x）是定義在R上的偶函數，滿足f（x+1）=-f（x），可以知道該函數的周期為2，在利用f（x）為偶函數且在[-1，0]上為增函數，可以由題意畫出一個草圖即可判斷．
解答：解：因為f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函數的周期定義可知該函數的周期為2，由于f（x）為定義在R上的偶函數且在[-1，0]上為單調遞增函數，所以由題意可以畫出一下的函數草圖為：
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由圖及題中條件可以得到：
①正確，周期T=2；
②由圖可以知道該函數關于x=1對稱，所以②正確；
③有已知條件 y=f（x）是定義在R上的偶函數且在[-1，0]上是增函數，所以y=f（x）在[0，1]上為單調遞減函數，故③錯；
④對于f（x+1）=-f（x），令x=-
1
2
，得到：f（
1
2
）=-f（-
1
2
）?f(
1
2
)=-f(
1
2
)（因為函數f（x）為偶函數）∴f(
1
2
)=0故④正確．
點評：此題考查了函數的周期性，對稱性及有抽象函數式子賦值的方法，還考查了學生對于抽象問題的具體化及數形結合的思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數；
（2）若f（x）是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）是定義在R上的函數，給定下列三個條件：
（1）y=f（x）是偶函數；
（2）y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數有
3
3
個．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）證明：對任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y=f（x）且使得
|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
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]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
，1]
；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．

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