如圖,是半圓的直徑,是半圓上除、外的一個動點,平面,,,,.
⑴證明:平面平面;
⑵試探究當(dāng)在什么位置時三棱錐的體積取得最大值,請說明理由并求出這個最大值.
⑴是直徑,所以,因為平面,,所以平面因為,又因為,所以,所以平面ACD,因為平面,所以平面平面
⑵當(dāng)為半圓弧中點時三棱錐的體積取得最大值,最大值為
解析試題分析:⑴因為是直徑,所以,因為平面,,因為,所以平面
因為,又因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以平面,因為平面,所以平面平面
⑵依題意,,
由⑴知,
,,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立,所以當(dāng)為半圓弧中點時三棱錐的
體積取得最大值,最大值為
(備注:此時,,,設(shè)三棱錐的高為,則,).
考點:線面垂直的判定與性質(zhì)及椎體體積
點評:第一問要證明兩面垂直只需證明其中一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一面,即轉(zhuǎn)化為證明線面垂直;第二問首先采用等體積法將所求椎體的體積轉(zhuǎn)化求解的角度,而后借助于均值不等式求得最大值
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如圖(1).把沿翻折,使得平面,如圖(2).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求三棱錐的體積;
(Ⅲ)在線段上是否存在點N,使得?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形,,,,.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積;
(3)線段上是否存在點,使//平面?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖(1),是等腰直角三角形,其中,分別為的中點,將沿折起,點的位置變?yōu)辄c,已知點在平面上的射影為的中點,如圖(2)所示.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
邊長為2的正方形ABCD所在平面外有一點P,平面ABCD,,E是PC上的一點.
(Ⅰ)求證:AB//平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)線段為多長時,平面?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四面體中,,,兩兩互相垂直,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大小;
(3)若直線與平面所成的角為,求線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
AB為圓O的直徑,點E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。
(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值;
(III)求多面體ABCDFE的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,棱柱ABCD—的底面為菱 形 ,AC∩BD=O側(cè)棱⊥BD,點F為的中點.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)證明:平面平面.
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