Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），設(shè)

m

=

a

+t

b

（t為實(shí)數(shù)）．
（1）若α=

π

4

，求當(dāng)|

m

|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值；
（2）若

a

⊥

b

，問：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夾角為

π

4

，若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把a(bǔ)=

π

4

代入求出向量

b

的坐標(biāo)，再把|

m|

轉(zhuǎn)化為

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

，把所求結(jié)論以及已知條件代入得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的二次函數(shù)，利用配方法求出|

m|

的最小值以及實(shí)數(shù)t的值；
（2）先利用向量垂直求出|

a

-

b

|以及|

a

+t

b

|和（

a

-

b

）（

a

+t

b

），代入cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，可得關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程，解方程即可求出實(shí)數(shù)t．

解答：解：（1）因?yàn)閍=

π

4

，所以

b

=（

2

2

，

2

2

），

a

•

b

=

2 3

3

，
則|

m|

=

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

=

t2+3 2 t+5

=

(t+ 3 2 2 )2+ 1 2

所以當(dāng)t=-

3 2

2

時(shí)，|

m|

取到最小值，最小值為

2

2

．（7分）
（2）由條件得cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6

，|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

5+t2

，
（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t，則有

5-t

6 5+t2

=

2

2

，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=

-5±3 5

2

滿足條件．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角以及向量的模．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t中的t＜5，因?yàn)閮蓚�(gè)向量的夾角為銳角，所以向量的數(shù)量積為正得t＜5．