Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=（-1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤

π

2

)．
（1）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求向量

OB

；
（2）若向量

AC

與向量

a

共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取最大值4時(shí)，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量垂直數(shù)量積為零，得到一個(gè)關(guān)于變量的方程，題目另一個(gè)條件是兩個(gè)向量模長(zhǎng)之間的關(guān)系，列出方程解出結(jié)果．
（2）根據(jù)向量共線的充要條件，寫出變量之間的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的最值特點(diǎn)得到結(jié)果，求出變量的值寫出向量的數(shù)量積．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（8，0），B（n，t），
∴

AB

=(n-8，t)，
∵

AB

⊥

a

，
∴

AB

•a=(n-8，t)•(-1，2)=0，
得n=2t+8．
則

AB

=(2t，t)，又|

AB

|=

5

|

OA

|，|

OA

|=8．
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
當(dāng)t=8時(shí)，n=24；當(dāng)t=-8時(shí)，n=-8．
∴

OB

=(24，8)或

OB

=(-8，-8)．
（2）∵向量

AC

與向量

a

共線，
∴t=-2ksinθ+16，tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

．
∵k＞4，
∴0＜

4

k

＜1，
故當(dāng)sinθ=

4

k

時(shí)，tsinθ取最大值

32

k

，有

32

k

=4，得k=8．
這時(shí)，sinθ=

1

2

，k=8，tsinθ=4，得t=8，則

OC

=(4，8)．
∴

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32．

點(diǎn)評(píng)：要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．要學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法和思路的形成過程，總結(jié)解題規(guī)律．學(xué)生要搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問題的能力．