橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:.

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當(dāng)直線軸垂直時；②是當(dāng)直線不與軸垂直時，都證明，可得結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，又，∴，即為邊上的中線，∴,        2分
在中，則，∴橢圓的離心率．       4分
（注：若學(xué)生只寫橢圓的離心率，沒有過程扣3分）
（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/95/e/1rv3b3.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以    6分
①當(dāng)直線軸垂直時，，，,
=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/6/1lo2f4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，恒為鈍角，
.         8分
②當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒為鈍角.，所以恒有．      12分
考點(diǎn)：1、橢圓的定義及性質(zhì)；2、直線與橢圓相交的綜合應(yīng)用；3、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，橢圓C過點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過該橢圓上任一點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點(diǎn)不同于）與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記點(diǎn)的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），
①求的值；
②當(dāng)為等腰直角三角形時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，的周長為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)任作一動直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)R，使得，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動，求該定直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知△的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于．
（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（Ⅱ）當(dāng)時，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱
點(diǎn)為(不重合) 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，記的軌跡為．又直線的一個方向向量且過點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的長．

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同步練習(xí)冊答案