設(shè)橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（1）;（2）;（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出橢圓標準方程中的；（2）用設(shè)點、建立兩個動點之間坐標的關(guān)系和代入已知曲線方程的方法求出動點軌跡方程；（3）先利用三點共線建立與的坐標關(guān)系，再根據(jù)為線段的中點求出的坐標表達式，進一步求出直線的方程，最后根據(jù)曲線圓心到直線的距離與半徑的大小情況判斷其位置關(guān)系.
試題解析：（1）由題意可得，，∴，         2分
∴，所以橢圓的方程為．       4分
（2）設(shè)，，由題意得，即，    6分
又，代入得，即．
即動點的軌跡的方程為．           8分
（3）設(shè)，點的坐標為，∵三點共線，∴，
而，，則，∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，      10分
∴直線的斜率為，
而，∴，∴，       12分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切．          14分
考點：1、橢圓的標準方程，2、代入法求動點軌跡方程，3、直線與圓位置關(guān)系的判定問題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C長軸的兩個頂點為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點B的任意一點，直線AN與橢圓C交于點Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M（異于點B），求證：直線NM經(jīng)過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設(shè)點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，
求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為時，求直線m的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，曲線與曲線相交于、、、四個點.
⑴ 求的取值范圍；
⑵ 求四邊形的面積的最大值及此時對角線與的交點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標原點，求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.

(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.

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