Question

【題目】已知函數(shù),其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), (,).

（Ⅰ）求的解析式及極值;

（Ⅱ）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,為極大值點(diǎn),且；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，令求出，再求出，即可得出解析式；再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出其極值；

（Ⅱ）先由得，構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，分別討論和，求出最小值，得到，再令，用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值，即可得出結(jié)果.

（Ⅰ）由已知得,

令, 得,即,

又, ∴,

從而, ∴,

又在上遞增,且,

∴當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ,

故為極大值點(diǎn),且.

（Ⅱ）由得，

令，得,

①當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,

時(shí), 與相矛盾;

②當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ,

即,

∴,,

令,則,

∴,,

當(dāng)時(shí), ,

即當(dāng),時(shí),

∴的最大值為,