Question

設(shè)y=f（x）是函數(shù)y=a^x-1（a＞0，a≠1）的反函數(shù)，
（1）試比較3f（x）與f（3x）的大��；
（2）若在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）求出函數(shù)的反函數(shù)，得到3f（x）與f（3x），然后利用作差法比較真數(shù)的大小，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得答案；
（2）分類求出函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值，由最大值比最小值大1求實數(shù)a的值．

解答： 解：由y=a^x-1（a＞0，a≠1），得a^x=1+y，即x=log_a（1+y），
x，y互換得：y=log_a（1+x），
∴f（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）3f（x）=3log_a（1+x）=loga(1+x)3，f（3x）=log_a（1+3x），
∵（1+x）³-（1+3x）=1+3x+3x²+x³-1-3x
=3x²+x³=x²（3+x）＞0 （x＞-1），
∴（1+x）³＞1+3x．
當a＞1時，3f（x）＞f（3x）；
當0＜a＜1時，3f（x）＜f（3x）．
（2）當a＞1時，f（x）=log_a（1+x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別為log_a3，log_a2，
由loga3-loga2=loga

3

2

=1，解得a=

3

2

；
當0＜a＜1時，f（x）=log_a（1+x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別為log_a2，log_a3，
由log_a2-log_a3=1，解得：a=

2

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，是基礎(chǔ)題．