Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（

A

2

）=

1

2

，bc=6，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可確定出對稱軸方程；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=

1

2

，根據(jù)第一問確定出的f（x）解析式，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，將cosA，bc的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x-

π

6

=kπ+

π

2

，得到x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
則圖象的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=sin（A-

π

6

）=

1

2

，得到A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
∵bc=6，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc=6，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立，
則a的最小值為

6

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的對稱性，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．