Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若直線為曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若在定義域上有極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．（2）分單調(diào)遞增合遞減兩種情況考慮，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大（小）于等于零在恒成立求解可得的范圍．（3）由題意得，令，然后對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，并根據(jù)的符號去掉絕對值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)有極值時實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)，則（*）

又

，代入（*）得

．

（2）設(shè)，

當(dāng)單調(diào)遞增時，

則在上恒成立，

∴ 在上恒成立，

又

解得．

當(dāng)單調(diào)遞減時，

則在上恒成立，

∴在上恒成立，

綜上單調(diào)時的取值范圍為．

（3），

令則，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

∴，即.

1）當(dāng)，即時，

∴，

則單調(diào)遞增，

在上無極值點(diǎn)．

2）當(dāng)即時，

∴

I）當(dāng)，即時，

在遞增，

，

在上遞增，

在上無極值點(diǎn)．

II）當(dāng)時，由

在遞減， 遞增，

又

使得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上有一個極小值點(diǎn)．

3）當(dāng)時， ，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，

在上恒成立，

無極值點(diǎn)．

4）當(dāng)時，

在遞增，

使得，

當(dāng)時， 當(dāng)時， ，

，

，

令，

下面證明，即證，

又

，

即證，所以結(jié)論成立，即，

在遞減， 遞增，

為的極小值.

綜上當(dāng)或時， 在上有極值點(diǎn)．