Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)．且x=-1時，取得極值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）曲線上是否存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于AB．說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個等式，求出a，b，c的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得到一個含等式，根據(jù)x=-1時，取得極值1，可知函數(shù)在x=-1時，導數(shù)等于0，且x=-1時，函數(shù)值等于1，又可得到兩個含a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，解出a，b，c即可．
（2）先假設(shè)存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于AB，則切線斜率與AB斜率互為負倒數(shù)，又因為函數(shù)在A，B點處的切線斜率時函數(shù)在該點處的導數(shù)，就可得到含A，B點的坐標的方程，解方程，若方程有解，則假設(shè)成立，若方程無解，則假設(shè)不成立．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數(shù)
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依題意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即

3a+c=0 -a-c=1

，解得，a=

1

2

，c=-

3

2

∴f（x）=

1

2

x³+-

3

2

x
（2）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
則有K_AB=

1 2 x2 - 3 2 x23- 1 2 x13+   3 2 x1

x2-x1

=

1

2

（x₁³+x₁x₂+x₂³）-

3

2

f′（x）=

3

2

x²-

3

2

依題意f′（x₁）=f′（x₂）=

3

2

x₁²-

3

2

=

3

2

x₂²-

3

2

且x₁≠x₂
∴x₁=-x₂，k_AB=

1

2

x₁²-

3

2

又K_AB-f′（x₁）=-1得（

1

2

x₁²-

3

2

）-

3

2

（x₁²-1）=-1
化簡得x₁⁴-4x₁²+

13

3

=0，△＜0，無解
∴假設(shè)不成立，故不存在．

點評：本題主要考查了函數(shù)導數(shù)與函數(shù)切線斜率之間的關(guān)系，屬于導數(shù)的常規(guī)題．