【題目】如圖(1),平面直角坐標系中,的方程為,的方程為,兩圓內(nèi)切于點,動圓與外切,與內(nèi)切.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)如圖(2),過點作的兩條切線,若圓心在直線上的也同時與相切,則稱為的一個“反演圓”
(。┊(dāng)時,求證:的半徑為定值;
(ⅱ)在(。┑臈l件下,已知均與外切,與內(nèi)切,且的圓心為,求證:若的“反演圓”相切,則也相切。
【答案】(1)(2)(。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕
【解析】
(1)設(shè)的半徑為,根據(jù)題意得到,,根據(jù)橢圓定義,即可判斷出點軌跡,從而求出軌跡方程;
(2)(。┰O(shè),得到的半徑為,設(shè),由題意得到,過點的的切線方程為,由點到直線距離公式,得到到切線的距離以及到切線的距離,再由,即可證明結(jié)論成立;
(ⅱ)由的圓心為,得到在軌跡上,此時的半徑為,其反演圓圓心為,半徑為,再由題意,得到與相切的反演圓的圓心為,或,半徑為;分別討論的圓心為,以及的圓心為兩種情況,即可證明結(jié)論成立.
(1)由題意,設(shè)的半徑為,
與內(nèi)切,,
與外切,,
,
由橢圓的定義,點在橢圓上運動,
,,,
其軌跡方程為.
(2)(。┰O(shè),此時的半徑為,
設(shè),
則為與的交點,其坐標為,
設(shè)過點的的切線方程為,
到切線的距離,
到切線的距離為:
,
,
,
當(dāng)時,的半徑為定值.
(ⅱ)當(dāng)的圓心為時,顯然在軌跡上,
此時的半徑為,其反演圓圓心為,半徑為,
由題意,與相切的反演圓的圓心為,或,半徑為;
1)當(dāng)的圓心為時,易知與重合,
其方程為,
,故相切;
2)當(dāng)的圓心為時,三點共線,
為直線與橢圓的交點,
的方程為:,故,
又,的半徑,
,故相切.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市甲、乙兩地為了爭創(chuàng)“市級文明城市”,現(xiàn)市文明委對甲、乙兩地各派10名專家進行打分評優(yōu),所得分數(shù)情況如下莖葉圖所示.
(1)分別計算甲、乙兩地所得分數(shù)的平均值,并計算乙地得分的中位數(shù);
(2)從乙地所得分數(shù)在間的成績中隨機抽取2份做進一步分析,求所抽取的成績中,至少有一份分數(shù)在間的概率;
(3)在甲、乙兩地所得分數(shù)超過90分的成績中抽取其中2份分析其合理性,求這2份成績都是來自甲地的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且,函數(shù)在點處的切線過點 .
(1) 求滿足的關(guān)系式,并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知,若函數(shù)在 上有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,且的相鄰兩個零點的距離為,為得到的圖像,可將圖像上所有點( )
A.先向右平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變
B.先向左平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變
C.先向左平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變
D.先向右平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式,并畫出在上的大致圖像;
(2)若關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解,求出實數(shù)m的取值范圍組成的集合;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐 P - ABCD 中,銳角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB,AB⊥AD,AB⊥BC。
(1) 求證:BC∥平面 PAD;
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線上點處的切線過點,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在上無零點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曙光中學(xué)團委組織了“弘揚奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段,,,后畫出如下部分頻率分布直方圖,則第四小組的頻率為_______,從成績是和的學(xué)生中選兩人,他們在同一分數(shù)段的概率_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,為邊的中點.將△沿翻折,得到四棱錐.設(shè)線段的中點為,在翻折過程中,有下列三個命題:
① 總有平面;
② 三棱錐體積的最大值為;
③ 存在某個位置,使與所成的角為.
其中正確的命題是____.(寫出所有正確命題的序號)
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